Eksponen & Logaritma — Kurva yang Bercerita

Eksponen · Bagian 1

Definisi Eksponen

Perkalian berulang dengan faktor yang sama akan sangat merepotkan jika ditulis panjang-panjang. Eksponen (bilangan berpangkat) adalah notasi ringkas untuk itu.

Definisi

Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka aⁿ adalah hasil kali a sebanyak n faktor.

aⁿ = a × a × a × ... × a (sebanyak n faktor)

Pangkat negatif

a^-n = 1 / aⁿ

Pangkat pecahan 1/n

a^1/n = a

Pangkat pecahan m/n

a^m/n = (a^1/n)^m

Contoh & PembahasanDefinisi Eksponen

Tentukan nilai dari 4³ dan 2⁻³.

4³ = 4 × 4 × 4 = 64

2⁻³ = 1 / 2³ = 1 / 8 = 0,125

Latihan Cepat

1. Nilai dari 5⁻² adalah…

Pembahasan: 5⁻² = 1/5² = 1/25.

2. Bentuk 3^1/2 sama dengan…

Pembahasan: pangkat 1/n identik dengan akar pangkat n, sehingga 3^1/2 = √3.

Eksponen · Bagian 2

Sifat-sifat Eksponen

Delapan sifat berikut membuat operasi pada bilangan berpangkat jauh lebih cepat dibanding menghitung perkalian berulang satu per satu.

1 · Perkalian sesama basis

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

2 · Pembagian sesama basis

aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

3 · Pangkat dari pangkat

(aᵐ)ⁿ = aᵐ ˣ ⁿ

4 · Pangkat dari perkalian

(ab)ᵐ = aᵐ · bᵐ

5 · Pangkat dari pembagian

(a/b)ᵐ = aᵐ / bᵐ

6 · Perkalian pangkat pecahan (basis sama)

a^m/n · a^p/n = a^(m+p)/n

Contoh & Pembahasan 1Sifat 1 & 2

Sederhanakan bentuk (2⁵ × 2³) / 2².

(2⁵ × 2³) / 2² = 2⁽⁵⁺³⁾ / 2²

= 2⁸ / 2²

= 2⁽⁸⁻²⁾ = 2⁶ = 64

Contoh & Pembahasan 2Pangkat Pecahan

Sederhanakan (x^1/3)² × x^4/3.

(x^1/3)² × x^4/3 = x^2/3 × x^4/3

= x^{(2/3 + 4/3)} = x^6/3

= x²

Latihan Cepat

1. Sederhanakan 3⁴ × 3³.

Pembahasan: basis sama → jumlahkan pangkat, 4+3=7, sehingga 3⁷ = 2.187.

2. Nilai dari (2³)² adalah…

Pembahasan: pangkat dari pangkat → kalikan pangkatnya, 3×2=6, sehingga 2⁶ = 64.

3. Bentuk sederhana dari a⁵ ÷ a² adalah…

Pembahasan: pembagian basis sama → kurangkan pangkat, 5−2=3, sehingga a³.

Eksponen · Bagian 3

Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen memodelkan sesuatu yang berubah dengan laju sebanding dengan besarnya nilai saat itu — penyebaran virus, pertumbuhan bakteri, peluruhan dosis obat, hingga radioaktif.

Definisi

f(x) = n × a^x

dengan a bilangan pokok (a > 0, a ≠ 1), n bilangan real tak nol, dan x sebarang bilangan real.

Pertumbuhan Eksponen

f(x) = aˣ, dengan a > 1

Nilai fungsi meningkat semakin cepat seiring x membesar. Contoh: pertumbuhan koloni bakteri, penyebaran virus di fase awal, kenaikan tabungan berbunga.

Peluruhan Eksponen

f(x) = aˣ, dengan 0 < a < 1

Nilai fungsi menurun mendekati nol namun tak pernah menyentuhnya. Contoh: peluruhan dosis obat dalam tubuh, peluruhan zat radioaktif, pantulan bola yang mengecil.

Simulator Pertumbuhan & Peluruhan

Interaktif

Atur nilai awal dan faktor pengali per langkah, lalu amati bagaimana grafiknya terbentuk — persis seperti mengamati koloni bakteri atau dosis obat dari jam ke jam.

Mode

Pertumbuhan Peluruhan

Nilai awal (N₀)

Faktor per langkah (r) = 2.0

Jumlah langkah (n) = 6

f(n) = 100 × 2ⁿ

Langkah	Nilai f(n)

Contoh & Pembahasan 3Pertumbuhan Bakteri

Sebuah inang terinfeksi 30 bakteri yang membelah dua kali setiap 30 menit. Berapa banyak bakteri pada fase ke-10 (jam ke-5)?

Model: f(x) = 30 · (2ˣ), x = fase per 30 menit

f(10) = 30 · 2¹⁰ = 30 × 1.024

= 30.720 bakteri

Contoh & Pembahasan 4Peluruhan Dosis Obat

Dosis awal obat 50 mikrogram, meluruh setengahnya setiap jam. Berapa sisa dosis setelah 3 jam?

Model: f(x) = 50 · (0,5)ˣ

f(3) = 50 × (0,5)³ = 50 × 0,125

= 6,25 mikrogram

Latihan Cepat

1. Kultur bakteri berjumlah 100 dan berlipat dua setiap jam. Setelah 4 jam, banyak bakteri adalah…

Pembahasan: f(4) = 100 × 2⁴ = 100 × 16 = 1.600.

2. Dosis obat 80 mg meluruh setengahnya setiap jam. Sisa dosis setelah 3 jam adalah…

Pembahasan: f(3) = 80 × (0,5)³ = 80 × 0,125 = 10 mg.

Eksponen · Bagian 4

Bentuk Akar

Pangkat pecahan dan bentuk akar adalah dua wajah dari hal yang sama. Memahami hubungannya memudahkan kita menyederhanakan sekaligus merasionalkan bentuk akar.

Hubungan Pangkat & Akar

Untuk setiap pangkat rasional m/n, dengan m, n bilangan bulat dan n > 0:

a^m/n = (a)^m atau a^m/n = (a^m)

Contoh & PembahasanMenyederhanakan Bentuk Akar

Sederhanakan (2√x)(3x) untuk x > 0.

(2√x)(3x) = (2x^1/2)(3x^1/3)

= 2·3·x^{(1/2 + 1/3)} = 6x^5/6

Merasionalkan Bentuk Akar

Untuk menghilangkan akar di penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan.

a / √b = (a√b) / b

c / (√a + √b) → kalikan dengan (√a − √b) / (√a − √b)

Latihan Cepat

1. Bentuk sederhana dari √50 adalah…

Pembahasan: 50 = 25 × 2, sehingga √50 = √25 × √2 = 5√2.

2. Rasionalkan bentuk 4/√2.

Pembahasan: 4/√2 × √2/√2 = 4√2/2 = 2√2.

Logaritma · Bagian 1

Definisi Logaritma

Saat mencari berapa waktu dibutuhkan agar bakteri mencapai jumlah tertentu, kita justru mencari pangkatnya — bukan hasilnya. Logaritma adalah operasi kebalikan (invers) dari eksponen untuk menjawab pertanyaan semacam ini.

Definisi

alog b = c ⇔ b = a^c

a = bilangan pokok (basis), b = numerus, c = hasil logaritma. Syarat: a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Konverter Eksponen ⇄ Logaritma

Interaktif

Masukkan basis (a) dan pangkat (x), lihat otomatis bentuk eksponen dan bentuk logaritmanya.

Basis (a)

Pangkat (x)

Bentuk eksponen: 2⁵ = 32

Bentuk logaritma: ²log 32 = 5

Latihan Cepat

1. Bentuk logaritma dari 2⁵ = 32 adalah…

Pembahasan: b = aᶜ ⇔ ᵃlog b = c, sehingga 2⁵=32 ⇔ ²log 32 = 5.

2. Jika ³log x = 4, maka x = …

Pembahasan: ³log x = 4 ⇔ x = 3⁴ = 81.

Logaritma · Bagian 2

Sifat-sifat Logaritma

Karena logaritma adalah invers eksponen, sifat-sifatnya berpasangan dengan sifat eksponen: penjumlahan pangkat menjadi perkalian numerus, dan sebaliknya.

1

alog a = 1

2

alog 1 = 0

3

alog aⁿ = n

4 · Perkalian → penjumlahan

alog (b×c) = alog b + alog c

5 · Pembagian → pengurangan

alog (b/c) = alog b − alog c

6 · Pangkat numerus

alog bⁿ = n·alog b

7 · Ganti basis

alog b = mlog b / mlog a

8 · Rantai basis

alog b × blog c = alog c

Contoh & PembahasanSifat Penjumlahan

Sederhanakan ²log 16 + ²log 8.

²log 16 + ²log 8 = ²log (16 × 8) = ²log 128

128 = 2⁷, sehingga ²log 2⁷ = 7 · ²log 2

= 7 × 1 = 7

Latihan Cepat

1. ²log 16 + ²log 8 = …

Pembahasan: hasil kali numerus 16×8=128=2⁷, sehingga ²log128 = 7.

2. ³log 81 = …

Pembahasan: 81 = 3⁴, sehingga ³log 81 = 4.

3. Jika ᵃlog b = 2 dan ᵃlog c = 3, maka ᵃlog (b×c) = …

Pembahasan: ᵃlog(b×c) = ᵃlog b + ᵃlog c = 2 + 3 = 5.

Logaritma · Bagian 3

Aplikasi Logaritma dalam Kehidupan

Logaritma banyak dipakai untuk mencari waktu atau tingkatan dari suatu proses eksponensial — mulai dari bunga tabungan sampai skala kekuatan gempa bumi.

Kalkulator Bunga Majemuk

Interaktif

Berapa lama modal harus disimpan agar mencapai target tertentu? Mₜ = M₀(1 + i)ᵗ, diselesaikan dengan logaritma.

Modal awal M₀ (Rp)

Target Mₜ (Rp)

Bunga per tahun (%) = 5%

9.000.000 = 3.000.000(1,05)ᵗ

t = log 3 / log 1,05 ≈ 22,5 tahun

Kalkulator Magnitudo Gempa

Interaktif

Skala Richter: M = log(I / I₀), dengan I intensitas gempa dan I₀ intensitas ambang batas.

Rasio I / I₀ = 5.011.872

M = log(5.011.872) ≈ 6,7 SR

Contoh & PembahasanTabungan Berbunga

Arif menabung Rp3.000.000 dengan bunga 5% per tahun. Berapa lama agar tabungannya menjadi 3 kali lipat?

9.000.000 = 3.000.000 (1,05)ᵗ → 3 = (1,05)ᵗ

log 3 = t · log 1,05

t = log 3 / log 1,05 = 0,4771 / 0,0212 ≈ 22,5 tahun

Latihan Cepat

1. Modal awal Rp1.000.000 berbunga 10%/tahun. Perkiraan waktu agar menjadi 2 kali lipat adalah…

Pembahasan: 2 = (1,1)ᵗ → t = log2/log1,1 ≈ 7,27 tahun.

2. Gempa dengan intensitas 1.000 × I₀ memiliki magnitudo…

Pembahasan: M = log(1000) = log(10³) = 3.

Evaluasi

Kuis Akhir Bab

Delapan soal berikut menggabungkan seluruh materi eksponen dan logaritma. Jawaban akan langsung diperiksa dan skor terus diperbarui.

Skor: 0 / 8

1. Nilai dari 2⁻⁴ adalah…

Pembahasan: 2⁻⁴ = 1/2⁴ = 1/16.

2. Sederhanakan (3²)³.

Pembahasan: kalikan pangkat, 2×3=6, sehingga 3⁶=729.

3. Bentuk akar dari 5^2/3 adalah…

Pembahasan: aᵐ/ⁿ = ⁿ√(aᵐ), sehingga 5²ᐟ³ = ³√(5²) = ³√25.

4. Populasi bakteri awal 200 berlipat 3 kali tiap jam. Setelah 2 jam, populasi menjadi…

Pembahasan: f(2) = 200 × 3² = 200 × 9 = 1.800.

5. Fungsi f(x) = n·aˣ disebut peluruhan eksponen jika…

Pembahasan: peluruhan terjadi saat basis pecahan antara 0 dan 1.

6. Bentuk logaritma dari 5³ = 125 adalah…

Pembahasan: b=aᶜ ⇔ ᵃlog b = c, sehingga 5³=125 ⇔ ⁵log125=3.

7. Nilai dari ⁴log 64 adalah…

Pembahasan: 64 = 4³, sehingga ⁴log64 = 3.

8. Sifat ᵃlog(b/c) sama dengan…

Pembahasan: logaritma dari pembagian menjadi pengurangan logaritma.

Satu kurva, dua wajah: tumbuh cepat atau meluruh pelan.

Laboratorium Kurva Eksponen

Definisi Eksponen

Sifat-sifat Eksponen

Fungsi Eksponen

Pertumbuhan Eksponen

Peluruhan Eksponen

Simulator Pertumbuhan & Peluruhan

Bentuk Akar

Merasionalkan Bentuk Akar

Definisi Logaritma

Konverter Eksponen ⇄ Logaritma

Sifat-sifat Logaritma

Aplikasi Logaritma dalam Kehidupan

Kalkulator Bunga Majemuk

Kalkulator Magnitudo Gempa

Kuis Akhir Bab